دانستنیهای ریاضی و علوم کامپیوتر

اكتشافات مهم رياضي

اوگستين گوشي رياضي دان بزرگ فرانسوي از كودكي مانند گائوس استعدادي فراوان داشت اما سخت پابند مذهب بود به كشفيات فراواني در رياضيات نايل گشت تئوري توابعي را كه يك متغير موهوم دارند بيان كرد اكتشافاتي بس بزرگ مي باشد كوشي از سال به بعد مرتباً با اكتشافات حيرت انگيزي موفق شد كه آنها را براي آكادمي علوم مي فرستاد تا جايي كه چاپ كنند .
گزارش هاي آكادمي او به وحشت زيرا مقالات گوشي بي نهايت زياد بود و كوشي مي خواست مجله اي منتشر سازد كه همه ي مقالات خود را در آن درج نمايد دو نوجوان نابغه يكي به نام هاي منريك آبل نروژي و ديگري او اويست گالوآ فرانسوي بود كه با اكتشافات خود در رياضيات تحولي عميق به وجود آورد .
آبل در خانواده اي فقير پرورش يافت از كودكي به نبوغش در رياضي درخشيد در آغاز جواني به برلن آنگاه به پاريس آمد و هر چه كوشيد كه به قلل رفيع آن روز علم مثل گائوس پو آسون كوشي پيدا كند برايش كند ميسر نشده اما سر انجام توانست يادداشتهايي را كه حاوي اكتشافات مهم خود بود كه به گوشي آن يادداشتها را گم كرد بيچاره آبل به نروژ بازگشت و در نوميدي و فقر در 26 سالگي چشم از جهان فروبست .
چندب بعد كوشي يادداشت هاي آبل را پيدا كرد و آن را به آكادمي علوم فرانسوي برد و جايزه‌اي بزرگ نصيب اكتشافات آبل و شارل گوستاوژاكوبي هلندي شهر نيز به چند اكتشاف بزرگ نايل گشته بود . گالوآنيز از كودكي نابعه اي بي همتا بود ولي توانست مطالعات و اكتشافات متفرق دانشمندان را رياضي را بصورت منظمي درآورد و با اكتشاف متعدد و غني خود بر قروت دانش رياضي بيفزائيد ، گالوآنيز اكتشافات خود را نزد گوشي در آورد كه باز مانند يادداشتهاي آبل گم شد و گالوآ نيز سخت ناراخت بود تا اينكه بزودي در بستر مرگ فرو افتاد زيرا در سن 20 سالگي در دوگلي شركت كرد و گلوله اي در بدنش فرو رفت و شب آخرين دوره‌ي زندگي اش تمام اكتشافات خود را به صورت خلاصه در حالي كه از درد به خود مي پيچيد نوشت و به صورت وصيت نامه براي جهانيان بارث باقي گذاشت اين ميراث علمي را در شب برشته تحرير درآمد .
به قول يكي از دانشمندان «صدها سال نسل هاي متعدد رياضي دانان بزرگ را دچار‌تنگي نفس خواهد كرد گالوآي واضع تئوري گروههاي به واسطه‌ي نيامدن پزشك درگذشت»
رياضيات در راه پيشرفتهاي حيرت انگيز :
كاسپارمونژ 1746-1818 فرانسوي در آغاز جواني يك نقشة جغرافيائي براي موطن خود تهيه كرد كه در محل فرمانداري نصب شد بعد از آن بهر مدرسه اي كه او را فرستادند برتريش بر معلمان آنجا برودي آشكار مي شد .در مدرسه اي باختراع هندسه ترسيمي موفق كشت و به خاطر منافع مملكتي بوي پيشنهاد شد كه آنرا مخفي نگهدارد كه خارجيان پي به اين اختراع بزرگ نبرند .
چون انقلاب كبير فرانسه درگرفت به صف انقلابيون پيوست در راه اجراي هدف هاي انقلاب كوششهاي فراوان كرد بعد از چند روز موفق به تأسيس مدرسه پلي تكنيك و تدريس در آنجا شد .
ژان ويكتور پونسله يكي از كساني بود كه در هنگام جنگ فرانسه با روسيه در روسيه اسير و زنداني شد در زندان بود كه در ذهن خود به بررسي در دروس مزبور بويژه هندسه مشفول گشت تا اينكه توانست دوستان خود را براي امتحانات پلي تكنيك در صورت مراجعت به فرانسه آماده سازد عاقبت تئوري تبديل به وسيله‌ي قطب و قطبي نظرش را پيش از همه جلب كرد و هندسه تصويري را به وجود آورد و چون آن را به آكادمي علوم فرانسه تقديم داشت بدان چندان توجهي نكردند لذا آنرا به آكادمي بروكسل عرضه كرد .
ميشل شال «1793-1880» فرانسوي در آغاز دلال بروات بود اما ورشكست شد و به بلژيك رفت و در ساعات فراغت به تفكر پرداخت تا اينكه در سال 1834 كتابي بنام و ماشين مدرسه پلي تكنيك برگزيده شد . شال هر سال با اكتشافات مهمي نايل ميآمد از جمله تئوري مشخصات را اختراع كرد .
ژاكوب اشتانيز 1786-1863 آلماني اكتشافات متعددي درباره منحنيها و سطوح مشكل كرد . لاكرانژ بعد از اينكه پاستادي مدرسه پلي تكنيك برگزيده شد تئوري تحليلي و پس از چندي ديني 1797 حل معادلات عددي خود را منتشر ساخت و راههائي نو براي آناليز گشود لاگرانژ در تمام دوران انقلاب و بعد از آن از هر نوع گزندي در امان بود .
«كتاب دايره المعرف»
پيشرفت هاي رياضي
بيشتر اكتشافات رياضي را دانشمندان فيزيك مورد استفاده قرار دارند و ترقيات فراواني نصيب علم فيزيك گشت ازخيلي بيش فيزيكدانان معادلات ديفرانسيل را كه رابطه ي ميان علت و معلول را بيان مي كند وارد عالم فيزيك كردند آنگاه معادلات با مشتق جزيي را در نورديده و در علم رياضي بكار برده اند پس از آن به بررسي و بكار بستن نمودهائي همت گماشتند كه هر كدام تابع بي نهايت علت گوناگون بود معادلات انتگرال نيز در مورد علوم فيزيك به كار بسته شده اين اكتشافات را هم كه حساب توابع رياضي نام يافت از آن ويتو ليترا (vito    valterra) 1860 و 1940 اين كشفمهم به وسيله چند نفري نيز تعقيب و تكميل گرديد ولي تحولي شگرف و افتخاري عظيم نصيب رياضي دانان شد .
زيرا مدتها دانشمندان اعداد صحيح را محاسبه ميكردند بعد از چندي محاسباتشان به اعداد كسري تصميم داده شد آنگاه فيثاغورسان اعداد اصم راوارد رياضيات ساختند وبعد از اعداد منفي وموهوم و سرانجام حساب توابع وارد قلمرو رياضي شد كه نقطه انتهايي و تكامل اين علم محسوب مي گشت .

• 
  مقدمه
  ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت. بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت. در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است. در داستانها چنین آمده است که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز پایتخت ایالت یونانی سیسیل آن زمان ارشمیدس مکانیک دان و ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون یکی از معروفترین کشفهای خود را در خزینه حمام انجام داد.
  

کشفی در حمام
روزی که او در حمامی عمومی به داخل خزینه پا نهاد و در آن نشست و حین این کار بالا آمدن آب خزینه را مشاهده کرده ، ناگهان فکری به مغزش خطور کرد. او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روان شد و مرتب فریاد می‌زد یافتم، یافتم. او چه چیزی را یافته بود؟ پادشاه به او مأموریت داده بود راز جواهر ساز خیانتکار دربار را کشف و او را رسوا کند. شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می‌پنداشت که او بخشی از طلایی را که برای ساختن تاج شاهی به وی داده بود برای خود برداشته و باقی آن را با فلز نقره که بسیار ارزانتر بود مخلوط کرده و تاج را ساخته است.

هر چند ارشمیدس می‌دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند، ولی او تا آن لحظه اینطور فکر می‌کرد که مجبور است تاج شاهی را ذوب کند، آنرا به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند. اما در این روش تاج شاهی از بین می‌رفت، پس او مجبور بود راه دیگری برای این کار بیابد. در آن روز که در خزینه حمام نشسته بود دید که آب خزینه بالاتر آمد و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جابجا کرده است.

آزمایش و اثبات ناخالصی تاج شاهی (کشفی از رازهای طبیعت)
او با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد. او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه ، مقار آب یکسانی را جابجا می‌کنند، ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است (طلا تقریبا دو برابر نقره وزن دارد)، بنابراین باید مقدار کمتری آب را جابجا کند. این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد. او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از تاج شاهی ، هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب.

او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می‌راند، ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جابجا می‌کند. به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده، بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است و به این ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد. آن هم اینکه می‌توان وزن اجسام سخت را با کمک مقدار آبی که جابجا می‌کنند اندازه گیری کرد. این قانون (وزن مخصوص) را که امروزه به آن چگالی می‌گویند اصل ارشمیدس می‌نامند. حتی امروز هم هنوز پس از 23 قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.

فعالیت در حوزه‌های دیگر
ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود. او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمینهای خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد. او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره ، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد. همچنین بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است. او کتابهایی درباره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط ، منحنی حلزونی و خط مارپیچ ، سهمی ، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه نوشته ، علاوه بر آن او قوانینی درباره سطح شیب دار، پیچ ، اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.

یکی از روشهای نوین ارشمیدس در ریاضیات بدست آوردن عدد بود، وی برای محاسبه عدد پی ، یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن روشی بدست داد و ثابت کرد که عدد محصور مابین 7/1 3 و 71/10 3 است، گذشته از آن روشهای مختلف برای تعیین جذر تقریبی اعداد به دست داد و از مطالعه آنها معلوم می‌شود که وی قبل از ریاضیدانان هندی با کسرهای متصل یا مداوم متناوب آشنایی داشته است. در حساب روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می‌کردند، به کنار گذاشت و پیش خود دستگاه شمارشی اختراع کرد که به کمک آن ممکن بود هر عدد بزرگی را بنویسیم و بخوانیم.

دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و وی توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع تعادل اجسام غوطه ور بکار برد. همچنین برای اولین بار برخی از اصول مکانیک را به وضوح و دقت بیان کرد و قوانین اهرم را کشف کرد.

ارشمیدس و دیگر دانشمندان دوران خود
ارشمیدس در مورد خودش گفته‌ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده و آن این است: «نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد». عین همین اظهار به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است، اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس هم چون عقاب گوشه گیر و منزوی بود، در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت، یکی کونون (این شخص ریاضیدان قابلی بود که ارشمیدس چه از لحاظ فکری و چه از نظر شخصی برای وی احترام بسیار داشت) و دیگری اراتوستن که گر چه ریاضیدان لایقی بود، اما مردی سطحی به شمار می‌رفت که برای خویش احترام خارق العاده‌ای قائل بود.

ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهم و زیبایی از آثار خویش را در این نامه‌ها با او در میان گذاشت و بعدها که کونون در گذشت، ارشمیدس با دوستی که از شارگردان کونون بود مکاتبه می‌کرد. در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد.

این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با احجام و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن ارشمیدس موفق به تعیین نتیجه مطلوب می‌شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می‌دارد که وی را به مفهوم صاحب فکر جدید و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود بکار می‌برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می‌داشتند حمله ور گردد.

دومین نکته‌ای که ما را مجاز می‌دارد که عنوان متجدد به ارشمیدس بدهیم روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع حساب انتگرال شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته‌ای را بکار برد که می‌توان او را از پیش قدمان فکر ایجاد حساب دیفرانسیل دانست.

وداع با دنیا
زندگی ارشمیدس با آرامش کامل می‌گذشت، همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تأمین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا در آورد. زمانی که رومیان در سال 212 قبل از میلاد شهر سیراکوز را به تصرف خود در آوردند، سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار و توهین و ضرب و جرح این دانشمند و متفکر مشهور و بزرگ را ندارند، با این وجود ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد. او بوسیله یک سرباز مست رومی به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود، می‌گویند آخرین کلمات او این بود: دایره‌های مرا خراب نکن. به این ترتیب بود که زندگی ارشمیدس بزرگترین دانشمند تمام دورانها خاتمه پذیرفت، این ریاضیدان بی دفاع 75 ساله در 278 قبل از میلاد به جهان دیگر رفت.
منبع : دانشنامه رشد

خیام

غیاث الدین ابوالفتح، عمر بن ابراهیم خیام (خیامی) در سال 439 هجری (1048 میلادی) در شهر نیشابور و در زمانی به دنیا آمد که ترکان سلجوقی بر خراسان، ناحیه ای وسیع در شرق ایران، تسلط داشتند. وی در زادگاه خویش به آموختن علم پرداخت و نزد عالمان و استادان برجسته آن شهر از جمله امام موفق نیشابوری علوم زمانه خویش را فراگرفت و چنانکه گفته اند بسیار جوان بود که در فلسفه و ریاضیات تبحر یافت. خیام در سال 461 هجری به قصد سمرقند، نیشابور را ترک کرد و در آنجا تحت حمایت ابوطاهر عبدالرحمن بن احمد , قاضی القضات سمرقند اثربرجسته خودرادر جبرتألیف کرد.

خیام سپس به اصفهان رفت و مدت 18 سال در آنجا اقامت گزید و با حمایت ملک شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک، به همراه جمعی از دانشمندان و ریاضیدانان معروف زمانه خود، در رصد خانه ای که به دستور ملکشاه تأسیس شده بود، به انجام تحقیقات نجومی پرداخت. حاصل این تحقیقات اصلاح تقویم رایج در آن زمان و تنظیم تقویم جلالی (لقب سلطان ملکشاه سلجوقی) بود.

در تقویم جلالی، سال شمسی تقریباً برابر با 365 روز و 5 ساعت و 48 دقیقه و 45 ثانیه است. سال دوازده ماه دارد 6 ماه نخست هر ماه 31 روز و 5 ماه بعد هر ماه 30 روز و ماه آخر 29 روز است هر چهارسال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز است هر چهار سال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز می شود در تقویم جلالی هر پنج هزار سال یک روز اختلاف زمان وجود دارد در صورتیکه در تقویم گریگوری هر ده هزار سال سه روز اشتباه دارد.

بعد از کشته شدن نظام الملک و سپس ملکشاه، در میان فرزندان ملکشاه بر سر تصاحب سلطنت اختلاف افتاد. به دلیل آشوب ها و درگیری های ناشی از این امر، مسائل علمی و فرهنگی که قبلا از اهمیت خاصی برخوردار بود به فراموشی سپرده شد. عدم توجه به امور علمی و دانشمندان و رصدخانه، خیام را بر آن داشت که اصفهان را به قصد خراسان ترک کند. وی باقی عمر خویش را در شهرهای مهم خراسان به ویژه نیشابور و مرو که پایتخت فرمانروائی سنجر (پسر سوم ملکشاه) بود، گذراند. در آن زمان مرو یکی از مراکز مهم علمی و فرهنگی دنیا به شمار می رفت و دانشمندان زیادی در آن حضور داشتند. بیشتر کارهای علمی خیام پس از مراجعت از اصفهان در این شهر جامه عمل به خود گرفت.

دستاوردهای علمی خیام برای جامعه بشری متعدد و بسیار درخور توجه بوده است. وی برای نخستین بار در تاریخ ریاضی به نحو تحسین برانگیزی معادله های درجه اول تا سوم را دسته بندی کرد، و سپس با استفاده از ترسیمات هندسی مبتنی بر مقاطع مخروطی توانست برای تمامی آنها راه حلی کلی ارائه کند. وی برای معادله های درجه دوم هم از راه حلی هندسی و هم از راه حل عددی استفاده کرد، اما برای معادلات درجه سوم تنها ترسیمات هندسی را به کار برد؛ و بدین ترتیب توانست برای اغلب آنها راه حلی بیابد و در مواردی امکان وجود دو جواب را بررسی کند. اشکال کار در این بود که به دلیل تعریف نشدن اعداد منفی در آن زمان، خیام به جوابهای منفی معادله توجه نمی کرد و به سادگی از کنار امکان وجود سه جواب برای معادله درجه سوم رد می شد. با این همه تقریبا چهار قرن قبل از دکارت توانست به یکی از مهمترین دستاوردهای بشری در تاریخ جبر بلکه علوم دست یابد و راه حلی را که دکارت بعدها (به صورت کاملتر) بیان کرد، پیش نهد.

خیام همچنین توانست با موفقیت تعریف عدد را به عنوان کمیتی پیوسته به دست دهد و در واقع برای نخستین بار عدد مثبت حقیقی را تعریف کند و سرانجام به این حکم برسد که هیچ کمیتی، مرکب از جزء های تقسیم ناپذیر نیست و از نظر ریاضی، می توان هر مقداری را به بی نهایت بخش تقسیم کرد. همچنین خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" (اصل پنجم مقاله اول اصول اقلیدس) در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (شرح اصول مشکل آفرین کتاب اقلیدس)، مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. بسیاری را عقیده بر این است که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشتند و معتقدند، دو جمله ای نیوتن را باید دو جمله ای خیام نامید. البته گفته می شودبیشتر از این دستور نیوتن و قانون تشکیل ضریب بسط دو جمله ای را چه جمشید کاشانی و چه نصیرالدین توسی ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

استعداد شگرف خیام سبب شد که وی در زمینه های دیگری از دانش بشری نیز دستاوردهایی داشته باشد. از وی رساله های کوتاهی در زمینه هایی چون مکانیک، هیدرواستاتیک، هواشناسی، نظریه موسیقی و غیره نیز بر جای مانده است. اخیراً نیز تحقیقاتی در مورد فعالیت خیام در زمینه هندسه تزئینی انجام شده است که ارتباط او را با ساخت گنبد شمالی مسجد جامع اصفهان تأئید می کند.

تاریخنگاران و دانشمندان هم عصر خیام و کسانی که پس از او آمدند جملگی بر استادی وی در فلسفه اذعان داشته اند، تا آنجا که گاه وی را حکیم دوران و ابن سینای زمان شمرده اند. آثار فلسفی موجود خیام به چند رساله کوتاه اما عمیق و پربار محدود می شود. آخرین رساله فلسفی خیام مبین گرایش های عرفانی اوست.

اما گذشته از همه اینها، بیشترین شهرت خیام در طی دو قرن اخیر در جهان به دلیل رباعیات اوست که نخستین بار توسط فیتزجرالد به انگلیسی ترجمه و در دسترس جهانیان قرار گرفت و نام او را در ردیف چهار شاعر بزرگ جهان یعنی هومر، شکسپیر، دانته و گوته قرار داد. رباعیات خیام به دلیل ترجمه بسیار آزاد (و گاه اشتباه) از شعر او موجب سوء تعبیرهای بعضاً غیر قابل قبولی از شخصیت وی شده است. این رباعیات بحث و اختلاف نظر میان تحلیلگران اندیشه خیام را شدت بخشیده است. برخی برای بیان اندیشه او تنها به ظاهر رباعیات او بسنده می کنند، در حالی که برخی دیگر بر این اعتقادند که اندیشه های واقعی خیام عمیق تر از آن است که صرفا با تفسیر ظاهری شعر او قابل بیان باشد. خیام پس از عمری پربار سرانجام در سال 517 هجری (طبق گفته اغلب منابع) در موطن خویش نیشابور درگذشت و با مرگ او یکی از درخشان ترین صفحات تاریخ اندیشه در ایران بسته شد

آبل

نيلس هنريک آبل (1802-1829) يکي از پيشروترين رياضيدانان قرن نوزدهم و احتمالا بزرگترين نابغه
برخواسته از کشورهاي اسکانديناوي است. آبل همراه با معاصرانش, گاوس و کوشي, يکي از پيشگامان ابداع
رياضيات نوين بوده است, که مشخصة آن تأکيد بر اثبات دقيق است. زندگيش آميزة تندي بود از خوشبيني
شوخ طبعانه در هنگامي که تحت فشار فقر و گمنامي قرار داشت, و درقبال دستاوردهاي درخشان برجستة
فراوانش در عنفوان جواني, متواضع بود و در رويارويي با مرگي زودرس به آرامي تسليم بود.
آبل يکي از شش فرزند کشيش فقيري در يکي از روستاهاي نروژ بود. بيش از شانزده سال نداشت که
استعداد عظيمش آشکار شد و مورد تشويق يکي از معلمينش قرار گرفت, و چيزي نگذشت که به خواندن و
فهميدن کارهاي نيوتن, اويلر, و لاگرانژ پرداخت. وي به عنوان تفسيري در مورد اين تجربه, نکتة زير را بعدها
به نظر من اگر کسي بخواهد در رياضي پيشرفت کند, بايد به » : در يکي از يادداشتهاي رياضي خود نوشت
هجده سال بيش نداشت که پدرش مرد و خانواده را در تنگدستي .« مطالعة آثار اساتيد و نه شاگردان بپردازد
به جاگذاشت. آنها با کمک دوستان و همسايگان امرار معاش مي کردند و با کمک مالي چند تن از استادان,
اين پسر توانست در سال ۱۸۲۱ به طريقي وارد دانشگاه اسلو شود. نخستين پژوهشهاي او, که شامل حل
مسئلة کلاسيک منحني همزمان به وسيلة معادلة انتگرالي بود, در سال ۱۸۲۳ منتشر شد. اين اولين جواب
معادله اي از اين نوع بود, و راهگشايي براي پيشرفت وسيع معادلات انتگرالي در اواخر قرن نوزدهم و اوايل
را درقرن بيستم شد. او همچنين ثابت کرد که معادلة درجه پنجم ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0
را در حالت کلي نمي توان مانند معادلات درجة پائينتر, برحسب راديکال حل کرد, و بدين ترتيب مسئله اي را
حل کرد که رياضيدانان را ۳۰۰ سال گرفتار کرده بود. او اثباتش را به خرج خود در جزوة کوچکي منتشر
کرد.
در اين رشد علمي, آبل بزودي از نروژ فراتر رفته و تصميم به ديار از فرانسه و آلمان گرفت. با حمايت دوستان
و استادانش تقاضايي به دولت داد, که پس از تشريفات و تأخيرهاي متعارف, بورسي براي يک مسافرت
طولاني علمي در قارة اروپا دريافت کرد. سال اول مسافرت خود به خارج را بيشتر در برلين گذراند. در آنجا
اينخوش شانسي بزرگ را داشت که با رياضيدانان آماتور جوان و پرشوري به نام اگوست لئوپولدکرل, مجلة
مشهورش به نام مجلة رياضيات محض و کاربردي برانگيخت. اين اولين مجلة ادواري جهان بود که کاملا به
پژوهشهاي رياضي اختصاص داشت. سه جلد اول آن شامل ۲۲ مقاله از آبل بود.
مطالعات اولية آبل در رياضيات منحصر به سنت قديم قرن هيجدهم بود که نمونه اش اويلر است. در برلين
تحت تأثير مکتب فکري جديدي قرار گرفت که توسط گاوس و کوشي رهبري مي شد, و بيشترين تأکيدش
بر استنتاج دقيق بود تا بر محاسبات مشروح. در آن زمان بجز کار عظيم گاوس روي سريهاي فوق هندسي,
کمتر اثباتي در آناليز بود که امروزه نيز معتبر به شمار آيد. همان طور که آبل در نامه اي به يکي از
دوستانش تشریح می کند: «اگر ساده ترين حالات را کنار بگذاريم, در تمام رياضيات حتي يک سري
بينهايت هم نمي توان يافت که مجموع آن دقيقًا تعيين شده باشد. به عبارت ديگر, مهمترين بخشهاي
رياضيات فاقد مبنا هستند»
در اين دوران وي نتيجة مطالعات کلاسيک خود را در مورد سريهاي دوجمله اي
نوشت و در آن نظرية عمومي همگرايي را بنا نهاد و اولين اثبات قانع کننده از صحت بسط اين سري را ارائه
کرد.
آبل جزوة مربوط به معادلات درجة پنجم خود را, به اميد آنکه به مثابة يک جواز عبور علمي به کار رود, براي
گاوس به گوتينگن فرستاده بود. ولي, گاوس به دليلي که روشن نيست بدون آنکه به آن حتي نظري بياندازد
آن را کنار گذاشت, زيرا ۳۰ سال بعد, پس از مرگش آن را سربسته در بين اوراقش يافتند. با تأسف براي هر
دو نفر, آبل احساس کرد که در مورد او کارشکني شده است, و تصميم گرفت بدون ملاقات با گاوس به
پاريس برود.
در پاريس با کوشي, لژاندر, ديريکله, و ديگران ملاقات کرد, ولي اين ملاقاتها سرسري بود و او آن طور که مي
بايست شناخته نشد. وي در آن زمان چندين مقالة مهم در مجلة کرل منتشر کرده بود ولي فرانسويان کمتر
از وجود اين مجلة ادواري مطلع بودند و آبل خجالتير از آن بود که با افراد تازه آشنا راجع به کارهاي خود
صحبت کند. اندکي پس از ورودش, اثر برجستة خود را تحت عنوان يادداشتي دربارة يک خاصيت کلي دستة
وسيعي از توابع متعالي که آن را شاهکار خود دانست, به پايان رساند. اين اثر شامل کشفي در مورد انتگرال
توابع جبري است که امروزه به نام قضية آبل مشهور است, و پايه اي براي نظرية بعديش راجع به انتگرال
آبل, و قسمت زيادي ازهندسة جبري به شمار مي رود. گفته مي شود که دهها سال بعد, هر ميت ضاکمن
از آبل آنقدر کار به جا مانده است که رياضيدانان را تا ۵۰۰ سال مشغول » : اشاره به اين يادداشت, گفته است
ژاکوبي قضية آبل را بزرگترين کشف حساب انتگرال در قرن نوزدهم توصيف کرد. آبل دستنوشتة خود «. کند
را به فرهنگستان فرانسه ارائه کرد. وي اميدوار بود که اين اثر بتواند توجه رياضيدانان فرانسه را به او جلب
کند, ولي او بيهوده صبر کرد تا کيسه اش خالي شد و مجبور شد به برلين برگردد. جرياني که اتفاق افتاد از
اين قرار بود: دستنوشت مزبور براي بررسي به کوشي و لژاندر داده شد, کوشي آن را به خانه برد و در جاي
نامربوطي گذاشت و آن را بکلي فراموش کرد و تا سال ۱۸۴۱ اقدام به انتشار اين اثر نشد, و در آن زمان نيز
قبل از آن که نمونه هاي چاپي آن خوانده شود گم شد. بالاخره نسخة اصلي مقاله در سال ۱۹۵۲ از فلورانس
سردرآورد. آبل در برلين اولين مقالة انقلابي خود را در مورد توابع بيضوي, موضوعي که سالها روي آن
کارکرده بود, به پايان رساند, و درحالي که سخت مقروض شده بود به نروژ برگشت.
او انتظار داشت در بازگشت, به استادي منصوب شود, ولي بازهم آرزوهايش نقش بر آب شدو با تدريس
خصوصي به امرار معاش پرداخت, و مدت کوتاهي نيز به عنوان معلم کمکي در يک مؤسسه گمارده شد.
دراين دوران يکسره مشغول کار بود و اغلب اوقات روي نظرية توابع بيضوي که آن را به عنوان عکس
انتگرالهاي بيضوي کشف کرده بود, کار مي کرد. اين نظريه بسرعت جاي خود را به عنوان يکي از رشته هاي
اصلي آناليز قرن نوزدهم, با کاربردهاي فراواني در نظرية ادعداد, فيزيک رياضي, و هندسة جبري, باز کرد. در
اين اثنا, آوازة شهرت آبل به همة مراکز رياضي اروپا رسيد و در رديف بزرگان رياضي جهان قرارگرفت, ولي
وي به خاطر گوشه گيريش از اين ماجرا بي خبر ماند. در اوايل سال ۱۸۲۹ مرض سلي که طي مسافرت به
آن مبتلا شده بود چنان پيشروي کرد که او را از کارکردن باز داشت, و در بهار همان سال, آبل در سن بيست
و شش سالگي درگذشت. کمي پس از مرگش, کرل در يادنامه اي به طعنه نوست که تلاشهاي آبل موفقيت
آميز بوده است, و آبل بايد به کرسي رياضي دانشگاه برلين منصوب شود.
کرل در مجلة خود آبل را چنين مي ستايد: «تمام آثارش حاوي نشانه هايي از نبوغ و قدرت فکري حيرت
انگيز است. مي توان گفت که او مي توانست با قدرتي مقاومت ناپذير از همة موانع بگذرد و به عمق مسئله
نفوذ کند... وجه تمايز او خلوص و نجابت ذاتي وي و نيز تواضع کم نظيري بود که ارزش او را به ميزان نبوغ
غيرعاديش بالا مي برد.» ولي, رياضيدانان, براي يادآوري مردان بزرگ رياضي روشهاي مختص خود به خود
دارند, و با گفتن معادلة انتگرالي آبل, انتگرالها و توابع آبل, گروههاي آبلي, سري آبل , فرمول مجموع جزئي
آبل, قضية حد آبل در نظرية سريعاي تواني, و جمع پذيري آبلي از او ياد مي کنند. کمتر کسي است که
اسمش به اين همه موضوع و قضيه در رياضيات نوين پيوند خورده باشد و آنچه وي در دوران يک زندگي
عادي مي توانست انجام دهد مافوق تصور است.

لاپــــــــلاس

پيرسيمون دولاپلاس (1749-1828) رياضيدان و منجم نظري فرانسوي و در زمان خود آنچنان مشهور بود
که نيوتن فرانسه خوانده مي شد. علاقة اصلي او در طول زندگيش مکانيک سماوي, نظرية احتمال, و ارتقاء
مقام بود.
در سن بست و چهار سالگي عميقًا درگير جزئيات کاربرد قانون گرانش نيوتن در کل منظومة شمسي بود که
در آن, سيارات و اقمار آنها تحت تأثير خورشيد نيستند, بلکه به اشکال درهم و پيچيده اي در يکديگر تأثير
دارند. حتي نيوتن معتقد بود که گاهي مداخلة الهي لازم است تا از پيدايش بي نظمي در اين سازو مکار
پيچيده جلوگيري شود. لاپلاس تصميم گرفت که دلايل علمي اين موضوع را جستجو کند, و موفق شد ثابت
کند که يک منظومة شمسي ايده آل در رياضيات عبارت است از دستگاه ديناميکي پايداري که همواره بدون
تغيير بماند. اين دستاورد تنها يکي از پيروزيهاي فراوان اوست که در اثر بزرگ و تاريخيش تحت عنوان
مکانيک سماوي (که در پنج مجلد از سال ۱۷۹۹ تا ۱۸۲۵ انتشار يافت), آمده است. در اين اثر کارهاي
چندين نسل از رياضيدانان برجسته راجع به گرانش گردآوري شده است. متأسفانه به خاطر شهرت آينده
اش, همة مراجع مربوط به اکتشافات پيشينيان و معاصران خود را حذف کرد, و امکان اين توهم را به وجود
آورد که همة اين مطالب و نظرات, متعلق به خو اوست. حکايات زيادي در رابطه به اين کاوش ذکر شده
است. يکي از مشهورترين آنها حاکي از زماني است که ناپلئون براي نشان دادن نقطة صعي از لاپلاس, به او
اعتراض کرد که چرا کتاب قطوري راجع به دستگاه جهان نوشته است بدون اينکه حتي مکانيک سماوي او
براي نسلهاي بعدي به جا ماند توسعة همه جانبة نظرية پتانسيل است, که در رشته هاي متعددي از علوم
فيزيکي, از گرانش و مکانيک سيالات گرفته تا الکترومغناطيس و فيزيک اتمي, وسيعًا مطرح مي باشد. با
وجود اينکه لاپلاس انديشة پتانسيل را از لاگرانژ گرفت بدون اينکه ذکري از اين امر به ميان آورد, ولي اين
نظريه را مورد استفادة آنچنان گسترده اي قرار دارد که از آن زمان, معادلة ديفرانسيل نظرية پتانسيل همواره
به معادلة اساسي لاپلاس مشهور بوده است.
شاهکار ديگر او رسالة نظرية تحليلي احتمالات ( ۱۸۱۲ ) بود, که آن کشفيات چهل سالة خود را در مورد
احتمال تنظيم کرد. وي باز هم فراموش کرد از نظرات فراوان ديگران که با نظرات خود درآميخته بود, ذکري
به ميان آورد, ولي با اين وجود متفق القول اند که کتابش در اين زمينه بزرگترين اثري است که در اين
قسمت از رياضي نوشته شده است. وي در مقدمة اين کتاب مب گويد:«نظرية احتمال اساساً چيزي نيست
مگر برداشت معمولي که به صورت محاسبه درآمده است.» ممکن است چنين باشد, ولي ۷۰۰ صفحة آناليز
بغرنج بعدي, که در آن آزادانه از تبديلات لاپلاس, توابع مولد, و بسياري ابزار غير ابتدايي ديگر استفاده کرده
است, به گفتة بعضي, از نظر پيچيدگي حتي از کتاب مکانيک سماوي نيز فراتر مي رود.
بعد از اتقلاب فرانسه, استعداد سياسي و حرص لاپلاس براي کسب مقام به اوج خود رسيد. هم ميهنانش از
بي ثباتي و اطاعت وي در امر سياست به تمسخر ياد مي کنند. اين بدان معناست که هر وقت تغييري در
حکومت پيش آمد (که در آن زمان زياد رخ مي داد) لاپلاس با تغيير اصول معتقدات خود بآرامي با محيط
ساگار مي شد‐ او بين جمهوريخواهي شديد و مداحي از سلطنت در نوسان بود‐ و هر بار به شغلي بهتر و
عنواني مهمتر دست مي يافت. مناسب است که او را با نمايندة قلابي پاپ در بري که در ادبيات انگليسي
آمده است مقايسه کنيم, که دوبار کاتوليک و دوبار پروتستان مي شد. مي گويند نمايندة پاپ در جواب اتهام
رنگ عوض کردن گفته است:«نه, اين طور نيست, زيرا گرچه مذهب خود را تغيير مي دادم ولي يقينًا به
اصل خود پاي بند بوده ام, اصلي که حکم مي کند من بايد تا پايان عمر اسقف در بري باقي بمانم.»
لاپلاس براي جبران خطاهايش, همواره در کمک و تشويق دانشمندان جوانتر دست و دل باز بود. او گاه و
بيگاه به مرداني مانند گيلوساک شيميدان, هامبولد جهانگرد و طبيعي دان, پواسون فيزيک دان, و خصوصًا,
کوش جوان, که يکي از بزرگترين سازندگان رياضيات قرن نوزدهم شد, در پيشبرد کارشان کمک مي کرد.

لاگرانژ

ژوزف لوئی لاگرانژ (1736-1813) از هندسه بيزار بود ولي کشفيات برجسته اي در حساب تغييرات و
مکانيک تحليلي دارد. وي همچنين در تدوين نظرية اعداد و جبر سهم داشت, و به آن جريان فکري که بعدًا
توسط گاوس و آبل تقويت گرديد, کمک کرد. زندگي رياضي وي را مي توان گسترش طبيعي کارهاي هم
عصر مسن تر و مهمتر وي يعني اويلر دانست, که در بسياري جهات کارهاي او را به پيش راند و آنها را
پالايش کرد.
لاگرانژ در تورينو از نياکان مختلط فرانسوي‐ ايتاليايي به دنيا آمد. در دوران کودکي به هنر و ادبيات بيش از
علوم علاقه داشت. اما هنوز در مدرسه بود که علاقة وي به رياضي, با خواندن مقاله اي از ادموند هالي در
مورد کاربردهاي جبر در نورشناسي, شعله ور گرديد. وي آنگاه يک دوره مطالعات مستقل را آغاز کرد, و
آنچنان بسرعت پيشرفت کرد که در سن ۱۹ سالگي در مدرسة سلطنتي نظام شهر تورينو به سمت استادي
منصوب گرديد.
آثار لاگرانژ در حساب تغييرات از اولين و مهمترين کارهاي اوست. در سال ۱۷۵۵ وي روش ضرايب خود را
براي حل مسئله هم پيراموني به اطلاع اويلر رساند. اين مسائل وي در روش ضرايب خود را براي حل مسئلة
هم پيراموني به اطلاع اويلر رساند. اين مسائل سالها در ذهن اويلر را ببعث مشغول کرده بود, چراکه از حد
روشهاي نيمه هندسي او فراتر بودند. اويلر بلافاصله پاسخ بسياري از سؤالاتي را که در انديشه اش بود
دريافت, ولي به لاگرانژ با مهرباني و گذشت قابل ستايش پاسخ گفت, و از انتشار کارخهاي خود صرفنظر کرد,
چنانکه در نامه به لاگرانژ مي نويسد:«از انتشار آنها خودداري کردم تا شما را از هيچ بخشي از افتخاراتي که
به مشا تعلق دارد محرم نکرده باشم» ادامه داد, و هم او و هم اويلر آن را در مورد بسياري از انواع جديد مسائل, بخصوص در مکانيک, به کار بردند.
در سال ۱۷۶۶ هنگامي که اويلر برلين را به قصد سن پترزبورگ ترک مي کرد, به فردريک کبير پيشنهاد کرد
که از لاگرانژ براي جانشيني وي دعوت به عمل آيد. لاگرانژ اين دعوت را پذيرفت و تا هنگام مرگ فردريک
در سال ۱۷۸۶ به مدت ۲۰ سال در برلين به سر مي برد. در اين مدت وي به طور گسترده در جبر و نظرية
اعداد کار مي کرد, و شاهکار خود, رسالة مکانيک تحليلي ( ۱۷۸۸ ) را, تحرير کرد, و در آن مکانيک عمومي را
يکپارچه کرد, و همچنانکه هميلتن از معادلات حرکت لاگرانژ, مختصات تعميم يافته, و مفهوم انرژي پتانسيل
نام برد.
بعد از مرگ فردريک, فضاي دربار پروس براي دانشمندان نسبتًا مطبوع شد, از اين رو لاگرانژ دعوت لويي
شانزدهم را براي عزيمت به پاريس پذيرفت, و در آنجا به وي آپارتماني در اوور واگذار کردند. لاگرانژ با وجود
آنهمه نبوغ عظيم, متواضع و بي تعصب بود. و گرچه همنشين اشراف و در واقع خود نيز يکي از آنها بود, در
طول ناآراميهاي انقلاب فرانسه مورد احترام و توجه همة احزاب بود. مهم ترين کار وي در اين دوران نقش
هدايت کننده و پيشتازش در ايجاد دستگاه متريک در مورد اوزان و مقادير است.
در رياضيات, وي سعي کرد تا پايه اي قابل قبول براي فرايندهاي اساسي آناليز عرضه کند, ولي اين تلاشها
عمدتًا بي ثمر ماند. در اواخر عمر, حس کرد که رياضيات به بن بست رسيده است و فيزيک, شيمي, زيست
شناسي, و ديگر علوم تواناترين مغزهاي آينده را به خود جلب خواهند کرد. اين بدبيني ممکن بود که از بين
رود, اگر وي مي توانست ورود گاوس و آيندگانش را به صحنه پيش بيني کند, کساني که قرن نوزدهم را به
غني ترين مرحلة تاريخ طولاني رياضيات تبديل کردند.

پـــــــوانــــکـــــاره

ژول هاری پوانکاره (1854-1912) در آغاز قرن بيستم در سطح جهاني به عنوان بزرگترين رياضيدان نسل
خود شناخته شد. در سال ۱۸۷۹ دوران دانشگاهي خود را در کان آغاز کرد, و تنها دو سال بعد به استادي
دانشگاه سوربن منصوب شد. بقية عمر خود را در آنجا به سر برد, و هر سال موضوع متفاوتي را تدريس کرد.
در سخنرانيهايش‐ که توسط دانشجويان او ويرايش شد و به چاپ رسيد‐ با ابتکار و تسلط فني فراوان, در
واقع تمامي زمينه هاي معروف رياضيات محض و کار بسته, و بسياري از زمينه هايي را که قبل از کشف
توسط وي ناشناخته بودند, مورد بحث قرار داد. روي هم رفته بيش از ۳۰ کتاب فني دربارة فيزيک رياضي و
مکانيک سماوي, شش کتاب در سطح عامه فهم, و تقريبًا ۵۰۰ مقالة پژوهشي در رياضيات نوشت. وي
متفکرين سريع الانتقال, قوي, و خستگي ناپذير بود که به جزئيات نمي پرداخت و به قول يکي از معاصرانش
«يک فاتح بود, نه يک استعمارگر». از موهبت حافظة عجيبي نيز برخوردار بود, و برحسب عادت, در حين
قدم زدن در اطاق مطالعة خود در مغزش ب رياضيات مي پرداخت و فقط پس از آنکه آن را در ذهنش
تکميل مي کرد, بر روي کاغذ مي آورد. بيش از ۳۲ سال نداشت که به عضويت فرهنگستان علوم برگزيده
شد. عضوي از فرهنگستان که او را براي عضويت پيشنهاد کرد گفت که «کارش مافوق تمجيد عادي است, و
لاجرم آنچه را که ياکوبي دربارة آبل نوشت به يادمان مي آورد: او مسايلي حل کرده که قبل از خودش به
تصور درنيامده بودند.»
نخستين دستاورد بزرگ رياضي پوانکاره در آناليز بود. او ابداع نظرية توابع خود ريخت, مفهوم دوره اي بودن
يک تابع را تعميم داد. توابع مثلثاتي و نمايي مقدماتي, دوره اي يگانه و توابع بيضوي دوره اي دوگانه هستند.
توابع خد ريخت پوانکاره تعميم گسترده اي از اين توابع را تشکيل مي دهند, زيرا اين توابع تحت يک گروه
شماراي نامتنهاهي از تبديلات کسري خطي, پايا هستند و نظرية غني توابع بيضوي را به عنوان جزء دربرمي
گيرند. او از آنها براي حل معادلات ديفرانسيل خطي با ضرايب جبري استفاده کرد و همچنين نشان داد که
چگونه مي توان ار اين توابع در يکنواخت کردن منحنيهاي جبري, يعني, بيان مختصات هر نقطة واقع بر
چنين منحني برحسب توابع تک مقداري y(t), x(t)c از يک پارامتر واحد t، استفاده کرد. در دهه هاي
1880 و ۱۸۹۰ ميلادي توابع خود ريخت به صورت شاخة گسترده اي از رياضيات درآمد که (علاوه بر آناليز)
به قلمروهاي نظرية گروه ها, نظرية اعداد, هندسة جبري, و هندسة غيراقليدسي راه يافته است.
نکتة اساسي ديگري از فکر پوانکاره را مي توان در پژوهشهايش دربارة مکانيک سماوي يافت (روشهاي نوين
مکانيک سماوي‐ در سه جلد ۱۸۹۲-۱۸۹۹ ). در خلال اين کار نظرية بسطهاي مجانبي خود را ارائه کرد
( که باعث توجه به سريهاي وارگا شد), پايداري مدارها را مطالعه کرد, و نظرية کيفي معادلات ديفرانسيل
غيرخطي را پايه گذاري کرد. بررسيهاي مشهورش در بررسي تکامل اجسام سماوي او را به مطالعة اشکال
تعادل جرم سيال درحال دوراني که ذراتش به وسيلة جاذبة ثقلي به هم پيوسته است, هدايت کرد, و
شکلهاي گلابي واري را کشف کرد که بعدًا در کار سر ج.ه. داروين (فرزند چارلز داروين) نقش مهمي ايفا
کردند.
پوانکاره, در خلاصة اين کشفيات, مي نويسد: « يک جسم سيال درحال دوران را که در اثر سرد شدن
منقبض مي گردد درنظر مي گيريم, ولي فرض مي کنيم که اين انقباض آنقدر آهسته صورت مي گيرد که
جسم همگن باقي مي ماند و دوران کلية قسمتهاي جسم يکسان است. شکل جسم که در ابتدا با تقريب
زيادي کروي است به يک بيضوي دوار تبديل مي گردد که پهن تر و پهن تر مي شود, آنگاه, در لحظة
خاصي, به يک بيضوي با سه محور نابرابر تبديل مي شود سپس, جسم از صورت بيضي وار خارج و به گلابي
وار تبديل مي شود تا سرانجام جرم جسم, که در ناحية کمر, بيشتر و بيشتر باريک مي شود, به دو جسم
مجزا و نابرابر تجزيه مي شود». اين ايده ها در عصر خود ما بيشتر مورد توجه قرار گرفته است, زيرا اخيراً
متخصصين ژئوفيزيک به کمک اقمار مصنوعي دريافته اند که زمين خود اندکي گلابي شکل است.
بسياري از مسائلي که پوانکاره در اين دوره با آنها مواجه گرديد بذرهاي شيوه هاي جديد تفکر بودند, که در
رياضيات قرن بيستم رشد کردند و شکوفا شدند. سريهاي واگرا و معادلات ديفرانسيل غيرخطي را قب ً لا متذکر
شده ايم. علاوه بر آنها, کوشش او براي درک ماهيت منحنيها و سطوح در فضاهايي با ابعاد بالاتر منجر به
مقالة مشهورش تحت عنوان تحليل موضعي (توپولوژي) ( ۱۸۹۵ ) گرديد, که همة افراد اهل فن متفقًا آن را
آغاز تاريخ نوين در توپولوژي جبري مي دانند. همچنين, در مطالعة خود در زمينة مدارهاي دوره اي, رشتة
ديناميک توپولوژي (يا کيفي) را بنا نهاد. در اينجا نوعي مسئلة رياضي مطرح مي شود که نمايانگر آن, قضيه
اي است که پوانکاره در سال ۱۹۱۲ ميلادي مطرح کرد, ولي عمرش کفاف نداد تا آن را ثابت کند: چنانچه
تبديلي يک به يک و پيوسته, حلقة محصور بين دو دايرة متحدالمرکز را چنان در خود تصوير کند که
مساحتها حفظ شود و نقاط دايرة دوراني را در جهت حرکت عقربه هاي ساعت و نقاط دايرة بيروني را در
جهت خلاف حرکت عقربه هاي ساعت به حرکت درآورد, آنگاه, در اين تبديل حداقل دو نقطه بايد ثابت
بمانند. اين قضيه کاربردهاي مهمي در مسئلة کلاسيک سه جسم (و نيز در حرکت يک توپ بيليارد برروي
ميز بيليارد محدب) دارد. در سال ۱۹۱۳ اثباتي براي اين قضيه توسط يک رياضيدان جوان آمريکايي به نام
بيرکهوف يافته شد. کشف قابل ملاحضة ديگر پوانکاره در اين زمينه, که امروزه به قضية بازگشت پوانکاره
معروف است, به رفتار دراز مدت دستگاههاي ديناميکي پايستار مربوط مي شود. به نظر مي رسيد که اين
نتيجه, بيهودگي کوششهاي اخير در به دست آوردن قانون دوم ترموديناميک از مکانيک کلاسيک را نشان
مي دهد, و مباحثة ناشي از آن مأخذ تاريخي نظرية ارگوديک نوين بوده است.
يکي از برجسته ترين خدمات فراوان پوانکاره به فيزيک رياضي, مقالة مشهورش در سال ۱۹۰۶ دربارة
ديناميک الکترون بود. او سالهاي زيادي راجع به شالوده هاي فيزيک فکر کرده بود, و مستقل از اينشتين
بسياري از نتايج مربوط به نظرية نسبيت خاص را به دست آورده بود. فرق اساسي در اين بود که بررسي
اينشتين متکي بر ايده هاي مقدماتي مربوط به علامتهاي نوري بود, حال آنکه بررسي پوانکاره بر پاية نظرية
الکترومغناطيس بنا شده بود و بنابراين از نر کاربردي به پديده هاي مربوط به اين نظريه محدود بود. پوانکاره
احترام زيادي براي استعداد اينشتين قايل بود, و در سال ۱۹۱۱ انتصاب اينشتسن را به اولين سمت
دانشگاهي اش توصيه کرد.
در سال ۱۹۰۲ به عنوان يک سرگرمي جنبي, و ضمن کوششي براي سهيم کردن افراد غير متخصص در
اشتياق خود به معنا و اهميت انساني رياضيات و علوم, به نويسندگي و سخنراني براي اقشار وسيعتري از
مردم روي آورد. اين کارهاي سبکتر او در چهار کتاب تحت عناوين علم و فريضه ( ۱۹۰۳ ), ارزش علم
۱۹۰۴ ), علم و روش( ۱۹۰۸ ) و آخرين انديشه ها( ۱۹۱۳ ) گردآوري شده اند. اين کتابها واضح, لطيف, عميق, )
و رويهمرفته لذت بخش هستند, و نشان مي دهند که پوانکاره يکي از بهترين نثر نويسان فرانسه است. در
مشهورترين اين مقالات, يعني مقالة مربوط به کشف رياضي, او به خويشتن نگريست و فرايندهاي مغزي خود
را تحليل کرد, و با انجام ان کار تصاوير نادري از مغز يک نابغه در هنگام کار را, عرضه کرد. همانطور که
, ژوردن در سوگندنامة پوانکاره نوشت، « يکي از دلايل فراوان جاودانگي پوانکاره اين است که با ما امکان داد
تا در عين اينکه او را مي ستاييم, وي را بشناسيم».
گفته مي شود که در حال حاضر دانش رياضي هر ده سال يا در اين حدود, دو برابر مي شود, هر چند که عده
اي راجع به تداوم اين مقدار انباشتگي ترديد دارند. عمومًا اعتقاد براين است که اکنون براي هر انساني امکان
درک کامل بيش از يک يا دو شاخه از چهار شاخة اصلي رياضيات, يعني آناليز, جبر, هندسه و نظرية اعداد,
(بدون احتساب فيزيک رياضي) وجود ندارد. پوانکاره تسلط خلاقي بر تمام رياضيات زمان خود داشت, و
احتمالاً پس از او هرگز کسي به اين مقام نخواهد رسيد.

مونژ

گاسپار مونژ در سال 1746 در شهر کوچک بون واقع در فرانسه متولد شد. مونژ که فرزند کاسب دوره گردی بود در 16 سالگی به تیزکردن چاقو و قیچی و غیره می پرداخت وی با وسایلی که به دست خود ساخته بود نقشه بزرگی از وطن خود تهیه کرد که مورد توجه و تحسین فراوان واقع شد و نقشه او را در فرمانداری نصب کردند.

معلمین او پس از مشاهده نقشه گفتند او داناتر از آن است که شاگرد ما باشد و او را برای تدریس فیزیک به مدرسه کشیشان شهر لیون فرستادند وی دستیار شارل بوسو، استاد ریاضیات، شد در سال 1768 مونژ جانشین او شد اگر چه مقام استادی نداشت سال بعد به عنوان مدرس فیزیک تجربی در مدرسه جای آبه نوله را گرفت در این سمتهای دو گانه که قسمتی از آن اختصاص به هدفهای علمی داشت مونژ نشان داد که ریاضیدان و فیزیکدانی توانا، طراحی با استعداد، آزمایگشری ماهر و معلمی در تراز اول است. مونژ به مطلعه بعضی از شاخه های هندسه دوباره جان بخشید و کار وی نقطه شروع شکوفایی فوق العاده آن رشته در سده 19 بود علاوه بر این پژوهشهای وی به رشته های دیگر تحلیل ریاضی کشیده شد خصوصاٌ به نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل فیزیک، شیمی و فناوری. مونژ که معلمی نامدار و رئیس مدرسه ای بی نظیر بود، مسئولیتهای مهم اداری و سیاسی را در طول انقلاب و دوره امپراطوری بر عهده گرفت بنابراین وی یکی از مبتکرترین ریاضیدانان عصر خود بود مونژ خیلی زود کارهای شخصی خود را آغاز کرد پژوهشهای وره جوانی او(1766 – 1772) بسیار متنوع اما جلوه دهنده خصوصیاتی بودند که نشانه استعداد کامل وی بود: از جمله حس تند و تیز درک واقعیت هندسی، علاقه به مسائل علمی، توانایی عظیم تحلیلی و توجه به جنبه های متعدد تحلیلی هندسی. در جریان سالهای 1777 تا 1780 مونژ عمدتاٌ به فیزیک و شیمی علاقه مند بود و مقدمات تهیه آزمایشگاه شیمی مجهزی را برای مدرسه مهندسی فراهم آورد انتخاب شدنش به عضویت فرهنگستان علوم به عنوان هندسه دان دستیار در سال 1780 زندگی مونژ را دگرگون ساخت زیرا وی را مجبور کرد که بر اساس منظمی در پاریس اقامت کند در پاریس در طرحهای فرهنگستان شرکت کرد و مقاله هایی در باره فیزیک و شیمی و ریاضیات تنظیم و عرضه نمود فهرستی از مطالبی که به فرهنگستان تقدیم کرد گواه بر تنوع آنها است: ترکیب اسید نیتریک، ا=تولید سطوح منحنی، معادلات تفاضلی متناهی و معادلات دیفرانسیل جزئی، انعکاس مضاعف و ساختار اسپات اسبند، ترکیب آهن، فولاد و چدن و تاثیر جرقه های برقی و بر گاز بیو کسید کربن، پدیده موئینگی و علل بعضی از پدیده های هواشناختی و بررسی در نور شناسی فیزولوژیک.

وقتی انقلاب در 1789 آغاز شد مونژ در زمره شناخته شده ترین دانشمندان فرانسوی بود او که عضو بسیار فعال فرهنگستان علوم بود شهرتی در ریاضیات و فیزیک و شیمی کسب کرده بود به عنوان ممتحن دانشجویان افسری نیروی دریایی، شاخه ای از مدارس نظامی فرانسه را رهبری می کرد که در آن زمان عملاٌ تنها مؤسسات نظامی بودند که تعلیمات علمی شایسته ای به دانشجویان خود می دادند و این مقام وی را، در هر بندری که از آن دیدار می کرد با دیوانسالارانی در تماس می گذاشت که اندکی بعد تحت مدیریت او قرار می گرفتند این مقام همچنین وی را قادر ساخت که معدنهای آهن، کارخانه ذوب آهن و کارخانه های دیگر را ببیند و بدین ترتیب در کار فلز پردازی و مسائل فناوری خبره و صاحب نظر شود علاوه بر این اصلاح مهمی که در 1776 در روش تعلیم در مدارس نیروی دریایی انجام داده بود وی را برای تلاشهایی آماده ساخت کهدر زمان انقلاب برای تازه کردن روشهای علمی و فنی بر عهده گرفت در سال 1794 مسئولیت تاسیس مدرسه مرکزی کارهای عامه(که بعداٌ به مدرسه پلی تکنیک تبدیل شد) به وی محول گردید مونژ مه در سال 1794 به عنوان معلم هندسه ترسیمی منصوب شد بر عمل تربیت سرکارگران آینده نظارت کرد و هندسه ترسیمی را در دوره های انقلابی که برای تکمیل تربیت دانشجویان آینده طراحی شده بودند تدریس نمود و یکی از فعالترین عضوهای شورای مدیریت بود. این مدرسه پس از دو ماه تاخیر که بر اثر مشکلات سیاسی پیش آمد در سال 1795 به نجومی منظم شروع به کار کرد. هر چند وظایفی که به عنوان سناتور به عهده مونژ محول شد موجب گردید که او چند بار از درسهایش در مدرسه پلی تکنیک دور شود از علاقه شدیدش به مدرسه هیچ کاسته نشد مراقبت دقیق در پیشرفت دانشجویان داشت و کارهای پژوهشی انان را دنبال می کرد و دقت خاصی به برنامه تعلیمات مبذول داشت بیشتر آنچه مونژ در این دوره منتشر کرد برای دانشجویان مدرسه پلی تکنیک نوشته شده بود موفقیت گسترده کتاب او بنام«هندسه ترسیمی) (1799) باعث اشاعه سریع این شاخه جدید هندسه هم در فرانسه و هم در خارج از آن شد. این اثر چند بار چاپ شد.

کار عملی مونژ ریاضیات(شاخه های گوناگون هندسه و تحلیل ریاضی) فیزیک، مکانیک و نظریه ماشینها را در می گرفت اگر چه اطلاع از جزئیات خدمات مونژ به فیزیک بسیار ناچیز است زیرا وی هرگز اثر عمده ای در این زمینه منتشر نساخت خدمات اصلی وی متمرکز بودند بر نظریه گرما، صوت، برق ساکن، نور شناسی(نظریه سرابها) مهمترین پژوهش مونژ در شیمی مربوط بود به ترکیب آب. خیلی زود، در سال 1781 وی ترکیب اکسیژن با ئیدروژن را در لوله اکسیژن سنج تحقق بخشید و در سال 1783 – همزمان با لاووازیه و بی ارتباط با او – آب را ترکیب کرد. با این که اسباب مونژ بسیار ساده تر بود نتایج اندازه گیریهایش دقیقتر بودند. در قلمرو تجربی در سال 1784 مونژ با همکاری کلوله برای نخسین بار موفق شد که گازی را مایع سازد و آن انیدرید سولفور(بیوکسیدگوگرد) بود.

سراجام بین سالهای 1786 و 1788 مونژ با برتوله و اندر مونه در اصول فلز پردازی و ترکیب آهن و چدن و فولاد به پژوهش پرداخت. مونژ مردی شجاع و از دوستان ناپلئون بود و در سال 1798 به اتفاق او به کشور مصر رفت در این سفر ناپلئون نتوانست او را از شرکت در حمله به اسکندریه منصرف سازد.

بعد از آنکه ناپلئون روانه سنت هلن گردید مخترع هندسه ترسیمی و ایجاد کننده اصلی مدرسه پلی تکنیک هم تمام عناوین خود را از دست داد و از آکادمی رانده شد. مونژ در 28 سال 1818 در 72 سالگی در پاریش درگذشت مخترع هندسه ترسیمی میراثی عظیم از خود به جا گذاشت زیرا ساختن ماشینهای مدرن و عمارات عظیم بدون کمک آن ممکن نیست.

رنه دکارت( Rene Decartes)، فیلسوف، ریاضیدان و فیزیکدان بزرگ عصر رنسانس در روز 31 ماه مارس 1596 میلادی، در شهرک لاهه از ایالت تورنِ(Touraine) فرانسه متولد شد. مادرش در سیزده ماهگی وی درگذشت و پدرش قاضی و مستشار پارلمان انگلستان بود.

دکارت در سال 1606 میلادی، هنگامیکه پسر ده ساله ای بود، وارد مدرسه لافلش(La Fleche) شد. این مدرسه را فرقه ای از مسیحیان به نام ژزوئیتها یا یسوعیان تاسیس کرده بودند و در آن علوم جدید را همراه با تعالیم مسیحیت تدریس می کردند. دکارت طی هشت سال تحصیل در این مدرسه، ادبیات، منطق، اخلاق، ریاضیات و مابعدالطبیعه را فرا گرفت. در سال 1611 میلتدی، دکارت در یک جلسه سخنرانی تحت عنوان اکتشاف چند سیاره سرگردان در اطراف مشتری، از اکتشافات گالیله اطلاع حاصل کرد. این سخنرانی در روح او که تاثیر فراوان گذاشت.

پس از اتمام دوره و خروج از لافلش، مدتی به تحصیل علم حقوق و پزشکی مشغول گردید، اما در نهایت تصمیم گرفت به جهانگردی پرداخته و آن گونه دانشی را که برای زندگی سودمند باشد، فرا بگیرد. به همین منظور، مدتی به خدمت ارتش هلند درآمد؛ چرا که فرماندهی آن را شاهزاده ای به نام موریس بر عهده داشت که در فنون جنگ و نیز فلسفه و علوم، مهارتی به سزا داشت و بسیاری از اشراف فرانسه دوست داشتند تحت فرمان او فنون رزمی را فرا بگیرند.
دکارت در مدتی که در قشون ارتش هلند بود، به علم مورد علاقه خود، یعنی ریاضیات می پرداخت.

در بهار سال 1619 میلادی از هلند به دانمارک و آلمان رفت و به خدمت سرداری به نام ماکسیمیلیان درآمد. اما زمستان فرا رسید و در دهکده نوبرگ(Neuberg) در حوالی رود دانوب، بی دغدغه خاطر و با فراغت تمام، به تحقیق در ریاضیات پرداخت و براهین تازه ای کشف کرد که بسیار مهم و بدیع بود و در پیشرفت ریاضیات، تاثیر به سزایی گذاشت.

پس از مدتی، به فکر یکی ساختن همه علوم افتاد و در شب دهم نوابر 1619 سه رویای امید بخش دید و آن ها را چنین تعبیر کرد که:
روح حقیقت او را برگزیده و از او خواسته تا همه دانش ها را به صورت علم واحدی در آورد.
این رویاها به قدری او را مشعوف ساخت که نذر کرد تا مقبره حضرت مریم را در ایتالیا زیارت نماید. وی چهار سال بعد به نذر خود وفا کرد.

از 1619 به بعد، چند سالی در اروپا به سیاحت پرداخت و چند سالی هم در پاریس اقامت کرد، اما زندگی در آن جا را که مزاحم فراغت خاطر خود می دید، نپسندید و در سال 1628 میلادی بار دیگر به هلند بازگشت و در آن دیار، تا سال 1649 میلادی، مجرد ، تنها و دور از هر گونه غوغای سیاسی و اجتماعی تمام اوقات خود را صرف پژوهش های علمی و فلسفی نمود.
تحقیقات وی، بیشتر تجربه و تفکر شخصی بود و کمتر از کتاب استفاده می کرد.

در سپتامبر 1649 به دعوت کریستین، ملکه سوئد برای تعلیم فلسفه خویش به دربار وی در استکهلم رفت. اما زمستان سرد این کشور اسکاندیناوی از یک سو و ضرورت سحرخیزی در ساعت پنج بامداد برای تعلیم ملکه از سوی دیگر، دکارت را که به این نوع آب و هوا و سحرخیزی عادت نداشت، به بیماری ذات الریه مبتلا ساخت.
< سرانجام، رنه دکارت در 11 فوریه سال 1650 در همان جا درگذشت و پس از مدتی، جسدش به فرانسه انتقال یافت.

دکارت از دانشمندان و فیلسوفان بزرگ تاریخ به حساب می آید. او قانون شکست نور را در علم فیزیک کشف کرد و هندسه تحلیلی را در ریاضیات و هندسه بنا نهاد.
در تاریخ فلسفه غرب ، فلسفه جدید با دکارت آغاز می کنند.